_{数据库系统原理}
形式化关系查询语言
`2026`#

关系代数：Relational Algebra
~~元组关系演算：Tuple Relational Calculus~~^*
~~域关系演算：Domain Relational Calculus~~^*

关系代数概述^§6.1#

一个运算符使用一个或两个关系作为输入，
运算结果输出一个关系.

基本运算
- 选择select: $\textcolor{red}{\Large\sigma}$
- 投影project: $\textcolor{red}{\Large\pi}$ 或 $\textcolor{red}\Pi$
- 并集union: $\textcolor{red}\cup$
- 差集set difference: $\textcolor{red}-$
- 笛卡尔积Cartesian product: $\textcolor{red}\times$

Select Operation/选择运算^§6.1.1#

单目运算符: $\textcolor{red}{\Large\sigma}_p(r)$ $σ_{p} (r)$
- $p$ 是选择条件(注意写成下标)
- ${\Large\sigma}_p(r)=\{t|t \in r \land p(t)\}$
$p$ $p$ 是个逻辑表达式
- 可以使用逻辑连接符： $\land$ (and), $\lor$ (or), $\lnot$ (not)
- 可以使用逻辑比较： $=$ , $\neq$ , $>$ , $\geq$ , $<$ , $\leq$
- 可使用属性名、常量、嵌套圆括弧(改变优先级)

如: ${\Large\sigma}_{dept\_name \textcolor{red}{="}Physics\textcolor{red}{" \land} salary \textcolor{red}> 5000}(instructor)$

例: 关系 $r$ 　　　　➔　　 ${\Large\sigma}_{A=B \land D>5}(r)$
A B C D
α α 1 7
α β 5 7
β β 12 3
β β 23 10

A B C D
α α 1 7
β β 23 10

A	B	C	D
α	α	1	7
α	β	5	7
β	β	12	3
β	β	23	10

A	B	C	D
α	α	1	7
β	β	23	10

Project Operation/投影运算^§6.1.2#

单目运算符: $\textcolor{red}\Pi_{A1,A2,...Ak}(r)$ $Π_{A 1, A 2, ... A k} (r)$
- $A1,A2,...Ak$ 是关系 $r$ 的属性名 (注意写成下标)
运算结果是一个关系:
- 它保留属性 $A1,A2,...Ak$ ，去掉了其他属性
- 如出现重复行，则去掉重复行

如: $\Pi_{id, dept\_name, salary}(instructor)$

例: 关系 $r$ 　➔　 $\Pi_{A,C}(r)$ 　➔　去掉重复行
A B C
α 10 1
α 20 1
β 30 1
β 40 2

A C
α 1
α 1
β 1
β 2

A C
α 1
β 1
β 2

A	B	C
α	10	1
α	20	1
β	30	1
β	40	2

A	C
α	1
α	1
β	1
β	2

A	C
α	1
β	1
β	2

关系运算组合^§6.1.3#

一个运算符的输出可以作为另一个的输入，从而构成
关系代数表达式(relational-algebra expression)
如： $\Pi_{name}({\Large\sigma}_{dept\_name="Physics"}(instructor))$

Union Operation/并集运算^§6.1.6#

双目运算符: $r \textcolor{red}\cup s$ $r \cup s$
- $r \cup s=\{t|t \in r \lor t \in s\}$
- $r,s$ $r, s$ 必须是兼容的关系(compatible relations)
  - $r,s$ 含有相同数量的属性
  - 对应属性的域必须相容：如 $r$ 和 $s$ 的第二个属性必须来自同一个域
如: $\Pi_{sno}{\Large\sigma}_{ssex="男"}Stu \textcolor{red}\cup \Pi_{sno}{\Large\sigma}_{sage>19}Stu$

例: 关系 $r$ 　,　关系 $s$ 　　➔　 $r \cup s$
A B
α 1
α 2
β 1

A B
α 2
β 3

A B
α 1
α 2
β 1
β 3

A	B
α	1
α	2
β	1

A	B
α	2
β	3

A	B
α	1
α	2
β	1
β	3

Set Intersection Operation/交集运算^§6.1.6#

双目运算符: $r \textcolor{red}\cap s$ $r \cap s$
- $r \cap s=\{t|t \in r \land t \in s\}$
- $r,s$ $r, s$ 必须是兼容的关系(compatible relations)
  - $r,s$ 含有相同数量的属性
  - 对应属性的域必须相容：如 $r$ 和 $s$ 的第二个属性必须来自同一个域
如: $\Pi_{sage}{\Large\sigma}_{ssex="男"}Stu \textcolor{red}\cap \Pi_{grade}{\Large\sigma}_{cno=3}SC$

Set Difference Operation/差集运算^§6.1.6#

双目运算符: $r \textcolor{red}- s$ $r - s$
- $r - s=\{t|t \in r \land t \notin s\}$
- $r,s$ $r, s$ 必须是兼容的关系(compatible relations)
  - $r,s$ 含有相同数量的属性
  - 对应属性的域必须相容：如 $r$ 和 $s$ 的第二个属性必须来自同一个域
如: $\Pi_{cno}Cou \textcolor{red}- \Pi_{cno}{\Large\sigma}_{sno="95001"}SC$

例: 关系 $r$ 　,　关系 $s$ 　　➔　 $r - s$
A B
α 1
α 2
β 1

A B
α 2
β 3

A B
α 1
β 1

A	B
α	1
α	2
β	1

A	B
α	2
β	3

A	B
α	1
β	1

元组运算符号定义^§6.2.0#

$t \in r$ 、 $t[A_i]$ 、 $t[A]$ #

[ $r \in R(A_1,A_2,A_3,A_4)$ ]

A₁	A₂	A₃	A₄
v₁₁	v₁₂	v₁₃	v₁₄
v₂₁	v₂₂	v₂₃	v₂₄
v₃₁	v₃₂	v₃₃	v₃₄
v₄₁	v₄₂	v₄₃	v₄₄

$t \in r$ : $t$ 是 $r$ 的一个元组
如: $t=(v_{21},v_{22},v_{23},v_{24})$
$t[A_i]$ : $t$ 的 $A_i$ 属性分量值
如: $t[A_3]=v_{23}$
$t[A]$ 其中 $A \subseteq U$ :
保留 $t$ 在 $A$ 中的分量形成新元组
如: $A=\{A_2,A_4\}$ ➔ $t[A]=t[A_2,A_4]=(v_{22},v_{24})$

$\overset{\frown}{t_rt_s}$ 称为元组的连接(Concatenation)#

[ $s \in S(B_1,B_2)$ ]

B₁	B₂
x₁₁	x₁₂
x₂₁	x₂₂
x₃₁	x₃₂

[ $r \in R(A_1,A_2,A_3)$ ]

A₁	A₂	A₃
v₁₁	v₁₂	v₁₃
v₂₁	v₂₂	v₂₃
v₃₁	v₃₂	v₃₃

　它是一个 $(n+m)$ 列的元组，前n个分量为 $r$ 中的一个n元组，后m个分量为 $s$ 中的一个m元组。
如 $t_r$ , $t_s$ 分别为 $r$ 的第2行和 $s$ 的第3行，则: $\overset{\frown}{t_rt_s}=(v_{21},v_{22},v_{23},x_{31},x_{32})$

Cartesian-Product Operation/笛卡尔积^§6.1.4#

双目运算符: $r \textcolor{red}\times s$ $r \times s$
- $r \textcolor{red}\times s=\{\overset{\frown}{tq} | t \in r \land q \in s\}$
- 如 $r$ 和 $s$ 有同名属性，则需重命名属性防止属性名重复

例: 关系 $r$ 　,　关系 $s$ 　　➔　　　 $r \times s$
A B
α 1
β 2
γ 3

B C D
α 7 x
β 7 x

A B_r B_s C D
α 1 α 7 x
α 1 β 7 x
β 2 α 7 x
β 2 β 7 x
γ 3 α 7 x
γ 3 β 7 x

A	B
α	1
β	2
γ	3

B	C	D
α	7	x
β	7	x

A	B_r	B_s	C	D
α	1	α	7	x
α	1	β	7	x
β	2	α	7	x
β	2	β	7	x
γ	3	α	7	x
γ	3	β	7	x

Theta Join/连接/θ连接^§6.1.5#

连接是双目运算符: $r \textcolor{red}{\Join_{\theta}} s$ $r ⋈_{θ} s$
- $r \textcolor{red}{\Join_{\theta}} s={\Large\sigma}_\theta(r \times s)$
- 如 ${\Large\sigma}_{Stu.sno=SC.sno}(Stu \times SC)$
  可用连接表达为 $Stu \Join_{Stu.sno=SC.sno} SC$
例: $r \textcolor{red}{\Join_{C<E}} s$

r
A B C

a1 b1 5

a1 b2 6

a2 b3 12

s
B E

b3 2

b3 10

b1 6

b5 2

C<E
✘ ✔

A B_r C B_s E

a1 b1 5 b3 10

a1 b1 5 b1 6

a1 b2 6 b3 10

A	B_r	C	B_s	E
a1	b1	5	b3	10
a1	b1	5	b1	6
a1	b2	6	b3	10

$r \Join_{\theta} s={\Large\sigma}_\theta(r \times s)$ #

r
A	B	C
a1	b1	5
a1	b2	6
a2	b3	12

s
B	E
b3	2
b3	10
b1	6
b5	2

**σ_{_C<E_r.B=s.B}(**r×s)
A	B_r	C	B_s	E
a1	b1	5	b3	2
a1	b1	5	b3	10
a1	b1	5	b1	6
a1	b1	5	b5	2
a1	b1	5	b3	2
a1	b2	6	b3	10
a1	b2	6	b1	6
a1	b2	6	b5	2
a2	b3	12	b3	2
a2	b3	12	b3	10
a2	b3	12	b1	6
a2	b3	12	b5	2

Nature Join/自然连接^§6.1.5#

双目运算符: $r \textcolor{red}{\Join} s$ $r ⋈ s$
- 它自动寻找 $r$ 和 $s$ 的公共属性作为等值连接条件
- 连接结果中的公共属性，只保留一份
例1：
- S ( Sno, Sname, Ssex, Sage, dept )
  SC( Sno, Cno, Grade )
- $S \textcolor{red}\Join SC=$
  $\Pi_{SC.Sno,Sname,SSex,Sage,dept,Cno,Grade} (S \Join_{S.Sno=SC.Sno}SC)$
例2:

r
A B C

a1 b1 5

a1 b2 6

a2 b3 12

s
B E

b3 2

b3 10

b1 6

b5 2

r ⋈_{_r.B=s.B} s
A B_r C B_s E

a1 b1 5 b1 6

a2 b3 12 b3 2

a2 b3 12 b3 10

r ⋈_{_r.B=s.B} s
A	B_r	C	B_s	E
a1	b1	5	b1	6
a2	b3	12	b3	2
a2	b3	12	b3	10

自然连接的一些特性^§6.1.5#

顺序可交换
- $r_1 \Join r_2 = r_2 \Join r_1$
- $r_1 \Join r_2 \Join r_3 = r_2 \Join r_3 \Join r_1$
如果自然连接的表之间没有“公共属性”？
- 它会等同于笛卡尔积： $r \Join s = r \times s$

Assignment Operation/赋值运算^{* §6.1.7}#

单目运算符: $x \textcolor{red}{\leftarrow} 关系代数表达式$ $x \leftarrow 关系代数表达式$
- 严格地说，它不是“运算符”，只是一个“命名符”
例如： $Physics \leftarrow {\Large\sigma}_{cname="物理"}Cou$
$Music \leftarrow {\Large\sigma}_{cname="音乐"}Cou$
$Physics \cup Music$

Rename Operation/重命名运算^§6.1.8#

单目运算符: $\textcolor{red}{{\Large\rho}_x} 关系代数表达式$ $ρ_{x} 关系代数表达式$
- 严格地说，它不是“运算符”，只是一个更强的“命名符”
- 除了关系重命名，它还能够对属性进行重命名
例如： ${\Large\rho}_{x}SC$
$Stu \Join_{Stu.sno=x.sno} x$
又如：
${\Large\rho}_{y(no,cno,grade)}SC$
$Stu \Join_{sno=no} y$

Image Set/象集^§6.1.x.1#

象集： $Z_x$ $Z_{x}$
- 给定一个关系 $r\in R(X,Z)$ ， $X$ 和 $Z$ 为属性组。我们定义，当 $t[X]=x$ 时， $x$ 在 $r$ 中的象集（Images Set）为： $Z_x = \{t[Z] | t \in r, t[X]=x\}$
- 它表示 $r$ 中属性组 $X$ 上值为 $x$ 的诸元组在 $Z$ 上分量的集合

例:
性别年龄姓名其他
女 21 张三 333…
男 22 李四 444…
女 19 王五 555…
男 22 何六 666…
$X=\{性别,年龄\}$
$x=(男,22)$
➔ $Z_x$

姓名其他
李四 444…
何六 666…

性别	年龄	姓名	其他
女	21	张三	333…
男	22	李四	444…
女	19	王五	555…
男	22	何六	666…

姓名	其他
李四	444…
何六	666…

Division Operation/除法运算^§6.1.x.2#

双目运算符: $r \textcolor{red}{\div} s$ $r \div s$
- $r \textcolor{red}\div s=\{t_r[X]|t_r \in r \land \Pi_Ys \subseteq Y_x\}$
- 其中:
  - $X$ , $Y$ , $Z$ 为 $r \in R(X,Y)$ , $s \in S(Y,Z)$ 关系模式的属性组
  - $R$ 中的 $Y$ 与 $S$ 中的 $Y$ 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域
  - $Y_x$ 为 $t[X]=x$ 时， $x$ 在 $r$ 中的象集（Images Set）
基本思想：
$r$ 与 $s$ 的除运算得到一个新的关系 $p \in P(X)$ ，是 $r$ 中满足下列条件的元组在 $X$ 属性列上的投影：元组在 $X$ 上分量值 $x$ 的象集 $Y_x$ 包含（涵盖）了 $s$ 在 $Y$ 上投影的集合

除法的计算方法^§6.1.x.3#

$r \in R(X,Y)$ , $s \in S(Y,Z)$ ，求 $r \textcolor{red}{\div} s$

思路:
1. 求得 $\Pi_Y(s)$
2. 对 $r$ $r$ 中每个元组 $t$ $t$ 做如下步骤：
  1. 求取象集 $Y_{t[X]}=\{u[Y] | u \in r \land u[X]=t[X]\}$
  2. 如 $Y_{t[X]} \supseteq \Pi_Y(s)$ 则将 $t[X]$ 放入结果集中
例：

X={ A }, Y={ B, C }, Z={ D }

π_Y(s)={ (b1, c2), (b2, c3) }
Y_a1={ (b1, c2), (b2, c3), (b2, c1) }
Y_a2={ (b3, c7), (b1, c2) }
Y_a3={ (b2, c3), (b1, c2) }

r ÷ s = { (a1) , (a3) }

r∈R(X,Y)
A B C

a1 b1 c2

a2 b3 c7

a3 b2 c3

a1 b2 c3

a2 b1 c2

a3 b1 c2

a1 b2 c1

s∈S(Y,Z)
B C D

b1 c2 d1

b2 c3 d1

b2 c3 d2

r∈R(X,Y)
A	B	C
a1	b1	c2
a2	b3	c7
a3	b2	c3
a1	b2	c3
a2	b1	c2
a3	b1	c2
a1	b2	c1

s∈S(Y,Z)
B	C	D
b1	c2	d1
b2	c3	d1
b2	c3	d2

Aggregate Operation/聚集运算^§6.1.x.4#

聚集函数(Aggregate Functions)
$sum, avg, min, max, count$
单目运算符: $_{A_1,A_2,...,A_n}\textcolor{red}{\mathcal{G}}_{F_1,F_2,...,F_m} (r)$ $_{A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}} G_{F_{1}, F_{2}, ..., F_{m}} (r)$
- $_{A_1,A_2,...,A_n}$ 是分组所依据(group by)的属性（可不指定）
- $_{F_1,F_2,...,F_m}$ 是聚集函数，如: $avg(A_3)$
- 有一些书籍或教材使用 $\textcolor{red}\gamma$ 替代 $\textcolor{red}{\mathcal{G}}$
例：
- $\textcolor{red}{\mathcal{G}}_{avg(sage),max(sage)}Stu$
  ➔ $\{(19,20)\}$ //所有学生的平均和最大年龄
- $_{ssex}\textcolor{red}{\mathcal{G}}_{avg(sage),max(sage)}Stu$
  ➔ $\{("男",19.5,20),("女",18.5,19)\}$ //按性别分组统计

运算符优先级^§6.1.x.5#

单目运算符 > 双目运算符
$×÷⋈$ > $∪∩－$

如果实在弄不清？

使用配对圆括号“ $(　)$ ”

1
注意：我们只用圆括号，没有什么“大括号、小括号、方括号、花括号……”
2
  作为专业人士请只使用配对“圆括号”
3
  热爱生命和分数，远离方括号、花括号之类

几个例子^§6.1.x.6#

选修2号课程的学生学号
${\Large\pi}_{Sno}({\Large\sigma}_{Cno=2}(SC))$
至少选了一门以5号课为先行的课程的学生姓名
${\Large\pi}_{Sname}({\Large\pi}_{Cpno=5}Cou⋈SC⋈{\Large\pi}_{Sno,Sname}Stu)$
至少选修1和3号课程的学生学号
${\Large\pi}_{Sno, Cno}SC÷{\Large\pi}_{Cno}({\Large\pi}_{Cno=1∨Cno=3}Cou)$

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关系代数概述^§6.1#

Select Operation/选择运算^§6.1.1#

Project Operation/投影运算^§6.1.2#

关系运算组合^§6.1.3#

Union Operation/并集运算^§6.1.6#

Set Intersection Operation/交集运算^§6.1.6#

Set Difference Operation/差集运算^§6.1.6#

元组运算符号定义^§6.2.0#

$t \in r$ 、 $t[A_i]$ 、 $t[A]$ #

$\overset{\frown}{t_rt_s}$ 称为元组的连接(Concatenation)#

Cartesian-Product Operation/笛卡尔积^§6.1.4#

Theta Join/连接/θ连接^§6.1.5#

$r \Join_{\theta} s={\Large\sigma}_\theta(r \times s)$ #

Nature Join/自然连接^§6.1.5#

自然连接的一些特性^§6.1.5#

Assignment Operation/赋值运算^{* §6.1.7}#

Rename Operation/重命名运算^§6.1.8#

Image Set/象集^§6.1.x.1#

Division Operation/除法运算^§6.1.x.2#

除法的计算方法^§6.1.x.3#

Aggregate Operation/聚集运算^§6.1.x.4#

运算符优先级^§6.1.x.5#

几个例子^§6.1.x.6#

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数据库系统原理形式化关系查询语言2026#

关系代数概述§6.1#

Select Operation/选择运算§6.1.1#

Project Operation/投影运算§6.1.2#

关系运算组合§6.1.3#

Union Operation/并集运算§6.1.6#

Set Intersection Operation/交集运算§6.1.6#

Set Difference Operation/差集运算§6.1.6#

元组运算符号定义§6.2.0#

t∈rt \in rt∈r、t[Ai]t[A_i]t[Ai​]、t[A]t[A]t[A]#

trts⌢\overset{\frown}{t_rt_s}tr​ts​⌢​ 称为 元组的连接(Concatenation)#

Cartesian-Product Operation/笛卡尔积§6.1.4#

Theta Join/连接/θ连接§6.1.5#

r⋈θs=σθ(r×s)r \Join_{\theta} s={\Large\sigma}_\theta(r \times s)r⋈θ​s=σθ​(r×s)#

Nature Join/自然连接§6.1.5#

自然连接的一些特性§6.1.5#

Assignment Operation/赋值运算* §6.1.7#

Rename Operation/重命名运算§6.1.8#

Image Set/象集§6.1.x.1#

Division Operation/除法运算§6.1.x.2#

除法的计算方法§6.1.x.3#

Aggregate Operation/聚集运算§6.1.x.4#

运算符优先级§6.1.x.5#

几个例子§6.1.x.6#

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关系运算组合^§6.1.3#

Union Operation/并集运算^§6.1.6#

Set Intersection Operation/交集运算^§6.1.6#

Set Difference Operation/差集运算^§6.1.6#

元组运算符号定义^§6.2.0#

$t \in r$ 、 $t[A_i]$ 、 $t[A]$ #

$\overset{\frown}{t_rt_s}$ 称为元组的连接(Concatenation)#

Cartesian-Product Operation/笛卡尔积^§6.1.4#

Theta Join/连接/θ连接^§6.1.5#

$r \Join_{\theta} s={\Large\sigma}_\theta(r \times s)$ #

Nature Join/自然连接^§6.1.5#

自然连接的一些特性^§6.1.5#

Assignment Operation/赋值运算^{* §6.1.7}#

Rename Operation/重命名运算^§6.1.8#

Image Set/象集^§6.1.x.1#

Division Operation/除法运算^§6.1.x.2#

除法的计算方法^§6.1.x.3#

Aggregate Operation/聚集运算^§6.1.x.4#

运算符优先级^§6.1.x.5#

几个例子^§6.1.x.6#